Let-n-be-the-number-of-ways-in-which-5-boys-and-5-girls-stand-in-a-queue-in-such-a-way-that-all-the-girls-stand-consecutively-in-the-queue-Let-m-be-the-number-of-ways-in-which-5-boys-and-5-girls-can-

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Question Number 21977 by Tinkutara last updated on 08/Oct/17

$$\mathrm{Let}n\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{ways}\mathrm{in}\mathrm{which}$$$$5\mathrm{boys}\mathrm{and}5\mathrm{girls}\mathrm{stand}\mathrm{in}\mathrm{a}\mathrm{queue}\mathrm{in}$$$$\mathrm{such}\mathrm{a}\mathrm{way}\mathrm{that}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{girls}\mathrm{stand}$$$$\mathrm{consecutively}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{queue}.\mathrm{Let}\mathrm{m}\mathrm{be}$$$$\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{ways}\mathrm{in}\mathrm{which}5\mathrm{boys}$$$$\mathrm{and}5\mathrm{girls}\mathrm{can}\mathrm{stand}\mathrm{in}\mathrm{a}\mathrm{queue}\mathrm{in}\mathrm{such}$$$$\mathrm{a}\mathrm{way}\mathrm{that}\mathrm{exactly}\mathrm{four}\mathrm{girls}\mathrm{stand}$$$$\mathrm{consecutively}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{queue}.\mathrm{Then}\mathrm{the}$$$$\mathrm{value}\mathrm{of}\frac{m}{n}\mathrm{is}$$

Commented by mrW1 last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{n}=6!\times 5!(=86400)$$$$\mathrm{m}={\mathrm{C}}_1^5\times 7!\times 4!-2\times 6!\times 5!(=432000)$$$$[\mathrm{or}\mathrm{m}={\mathrm{C}}_1^5\times (7!-2!\times 6!)\times 4!=432000]$$$$\Rightarrow \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{C}}_1^5\times 7!\times 4!}{6!\times 5!}-2=7-2=5$$

Commented by Tinkutara last updated on 09/Oct/17

$$6\mathrm{is}\mathrm{wrong}.$$

Commented by mrW1 last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{I}\mathrm{have}\mathrm{found}\mathrm{the}\mathrm{mistake}.\mathrm{see}\mathrm{correction}.$$

Commented by Tinkutara last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{Thank}\mathrm{you}\mathrm{very}\mathrm{much}\mathrm{Sir}!\mathrm{It}\mathrm{includes}$$$$\mathrm{permutations}\mathrm{also}.$$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{Sir}\mathrm{mrW}1$$$$\mathrm{Please}\mathrm{write}\mathrm{your}\mathrm{answer}\mathrm{in}$$$$\mathrm{some}\mathrm{detail}\mathrm{in}\mathrm{order}\mathrm{to}\mathrm{make}$$$$\mathrm{it}\mathrm{easy}\mathrm{to}\mathrm{understand}.\mathrm{Thanks}$$$$\mathrm{in}\mathrm{advance}.$$

Commented by mrW1 last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{case}1:$$$$\mathrm{BBB}\left[\mathrm{GGGGG}\right]\mathrm{BB}$$$$\mathrm{since}\mathrm{the}\mathrm{five}\mathrm{girls}\mathrm{are}\mathrm{together},\mathrm{we}$$$$\mathrm{treat}\mathrm{them}\mathrm{as}\mathrm{a}\mathrm{single}\mathrm{object}.\mathrm{to}\mathrm{arrange}$$$$\mathrm{this}\mathrm{object}\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{five}\mathrm{boys}\mathrm{there}\mathrm{are}$$$$6!\mathrm{ways}.\mathrm{to}\mathrm{arrange}\mathrm{the}\mathrm{five}\mathrm{girls}\mathrm{in}$$$$\mathrm{the}\mathrm{object}\mathrm{there}\mathrm{are}5!\mathrm{ways}.$$$$\Rightarrow \mathrm{n}=6!5!$$$$$$$$\mathrm{case}2:$$$$\mathrm{BGBB}\left[\mathrm{GGGG}\right]\mathrm{BB}$$$$\mathrm{we}\mathrm{divide}\mathrm{the}\mathrm{five}\mathrm{girls}\mathrm{into}\mathrm{a}\mathrm{single}$$$$\mathrm{person}\mathrm{G}\mathrm{and}\mathrm{a}\mathrm{groupe}\mathrm{with}4\mathrm{persons}$$$$\left[\mathrm{GGGG}\right].\mathrm{there}\mathrm{are}{\mathrm{C}}_1^5\mathrm{ways}\mathrm{to}\mathrm{do}\mathrm{this}.$$$$\mathrm{to}\mathrm{arrange}\mathrm{the}\mathrm{four}\mathrm{girls}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{groupe}$$$$\mathrm{there}\mathrm{are}4!\mathrm{ways}.$$$$\mathrm{to}\mathrm{arrange}\mathrm{the}\mathrm{five}\mathrm{boys}\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{single}$$$$\mathrm{girl}\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{groupe}\mathrm{there}\mathrm{are}7!\mathrm{ways}.$$$$\Rightarrow {\mathrm{C}}_1^5\times 4!\times 7!$$$$\mathrm{but}\mathrm{in}\mathrm{these}\mathrm{arrangements}\mathrm{we}\mathrm{have}$$$$\mathrm{also}\mathrm{G}\left[\mathrm{GGGG}\right]\mathrm{and}\left[\mathrm{GGGG}\right]\mathrm{G},\mathrm{both}$$$$\mathrm{mean}\mathrm{that}\mathrm{five}\mathrm{girls}\mathrm{are}\mathrm{together}.\mathrm{these}$$$$\mathrm{arrangements}\mathrm{must}\mathrm{be}\mathrm{excluded}.$$$$\Rightarrow \mathrm{m}={\mathrm{C}}_1^5\times 4!\times 7!-2\mathrm{n}$$$$\Rightarrow \mathrm{m}={\mathrm{C}}_1^5\times 4!\times 7!-2\times 6!\times 5!$$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{Thanks}\mathrm{again}!$$

Commented by mrW1 last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{you}\mathrm{are}\mathrm{welcome}\mathrm{sir}!$$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 08/Oct/17

$$\mathrm{Number}\mathrm{of}\mathrm{places}\mathrm{for}5\mathrm{girls}$$$$\mathrm{among}\mathrm{boys}\mathrm{represented}\mathrm{by}(-):$$$$-{\mathrm{b}}_1-{\mathrm{b}}_2-{\mathrm{b}}_3-{\mathrm{b}}_4-{\mathrm{b}}_5-$$$$\mathrm{n}=6$$$$\mathrm{Number}\mathrm{of}\mathrm{places}\mathrm{for}4\mathrm{girls}=6$$$$\mathrm{Number}\mathrm{of}\mathrm{places}\mathrm{for}5\mathrm{th}\mathrm{girl}$$$$\mathrm{for}\mathrm{each}\mathrm{of}6\mathrm{cases}\mathrm{of}4\mathrm{girls}=5$$$$\therefore \mathrm{m}=6\times 5=30$$$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{30}{6}=5$$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 08/Oct/17

$$\mathrm{I}{\mathrm{didn}}^{\prime }\mathrm{t}\mathrm{consider}\mathrm{order}\mathrm{between}$$$$\mathrm{girls}\mathrm{themselves}\mathrm{or}\mathrm{boys}\mathrm{themselves}.$$$$\mathrm{I}\mathrm{considerd}\mathrm{order}\mathrm{only}\mathrm{between}\mathrm{boys}$$$$\mathrm{and}\mathrm{girls}.\mathrm{Perhaps}{\mathrm{I}}^{\prime }\mathrm{m}\mathrm{wrong}.$$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 08/Oct/17

$$\mathrm{I}\mathrm{think}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{wording}\mathrm{of}\mathrm{the}$$$$\mathrm{question}{\mathrm{doesn}}^{\prime }\mathrm{t}\mathrm{demand}\mathrm{order}$$$$\mathrm{between}\mathrm{girls}\mathrm{when}\mathrm{it}\mathrm{says}“\dots$$$$\mathrm{in}\mathrm{such}\mathrm{a}\mathrm{way}\mathrm{that}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{girls}$$$$\mathrm{stand}\mathrm{consecutively}\mathrm{in}\mathrm{a}\mathrm{queue}{.}^{″}$$$$\mathrm{This}\mathrm{means}\mathrm{order}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{matter}.$$$$\mathrm{Only}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{girls}\mathrm{shoud}\mathrm{stand}$$$$\mathrm{without}\mathrm{any}\mathrm{boy}/\mathrm{s}\mathrm{between}\mathrm{them}.$$

Commented by Tinkutara last updated on 09/Oct/17

$$\mathrm{Thank}\mathrm{you}\mathrm{very}\mathrm{much}\mathrm{Sir}!$$

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