Question Number 19403 by Tinkutara last updated on 10/Aug/17
$$\mathrm{Let}\:{P}\left({n}\right)\:=\:\left({n}\:+\:\mathrm{1}\right)\left({n}\:+\:\mathrm{3}\right)\left({n}\:+\:\mathrm{5}\right)\left({n}\:+\:\mathrm{7}\right)\left({n}\:+\:\mathrm{9}\right). \\ $$$$\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{largest}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{that}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{divisor}\:\mathrm{of}\:{P}\left({n}\right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{even} \\ $$$$\mathrm{integers}\:{n}? \\ $$
Commented by RasheedSindhi last updated on 12/Aug/17
$$\mathrm{15} \\ $$
Answered by RasheedSindhi last updated on 12/Aug/17
$$\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right)=\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{9}\right) \\ $$$$\mathrm{n}\in\mathbb{E}^{+} ;\mathrm{Let}\:\mathrm{n}=\mathrm{2m},\mathrm{m}\in\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{2m}\right)=\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2m}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2m}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{2m}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{2m}+\mathrm{9}\right) \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{3k}\mid\mathrm{m}=\mathrm{3k}+\mathrm{1}\mid\mathrm{m}=\mathrm{3k}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{C}-\mathrm{0}\::\:\mathrm{m}=\mathrm{3k}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{2m}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{2}.\mathrm{3k}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{6k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{9}\right) \\ $$$$\:\:=\mathrm{3}\left(\mathrm{6k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{9}\right) \\ $$$$\mathrm{C}-\mathrm{1}\::\:\mathrm{m}=\mathrm{3k}+\mathrm{1}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right)=\left(\mathrm{6k}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{11}\right) \\ $$$$\:\:=\mathrm{9}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{2k}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{11}\right) \\ $$$$\mathrm{C}-\mathrm{2}\::\:\mathrm{m}=\mathrm{3k}+\mathrm{2}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right)=\left(\mathrm{6k}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{11}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{13}\right) \\ $$$$\:\:=\mathrm{3}\left(\mathrm{6k}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{2k}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{11}\right)\left(\mathrm{6k}+\mathrm{13}\right) \\ $$$$\:\mathrm{In}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{three}\:\mathrm{cases}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}\:\mid\:\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \\ $$$$\mathrm{Similarly}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}\:\mid\:\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \\ $$$$\mathrm{Also}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{verified}\:\mathrm{from}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{10}\right) \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{3}\:\mathrm{and}\:\mathrm{5}\:\mathrm{can}\:\mathrm{divide}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right)\:\mathrm{once}\:\mathrm{only}. \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{10}\right)=\mathrm{11}.\mathrm{13}.\mathrm{15}.\mathrm{17}.\mathrm{19} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{11}.\mathrm{13}.\mathrm{3}.\mathrm{5}.\mathrm{17}.\mathrm{19} \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{proved} \\ $$$$\mathrm{that}\:\:\mathrm{there}\:\mathrm{isn}'\mathrm{t}\:\mathrm{any}\:\mathrm{divisor}\:\mathrm{of}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{n}\right) \\ $$$$\mathrm{other}\:\mathrm{than}\:\mathrm{3}\:\&\:\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{3}.\mathrm{5}.\mathrm{7}.\mathrm{9}.\mathrm{11} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{10}\right)=\mathrm{11}.\mathrm{13}.\mathrm{15}.\mathrm{17}.\mathrm{19} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{12}\right)=\mathrm{13}.\mathrm{15}.\mathrm{17}.\mathrm{19}.\mathrm{21} \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{the}\:\mathrm{largest}\:\mathrm{divisor}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{3}×\mathrm{5}=\mathrm{15} \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 12/Aug/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$