Question Number 98268 by mr W last updated on 16/Jun/20
$${let}\:{p}\left({x}\right)\:{be}\:{a}\:{polynomial}\:{function}\:{of} \\ $$$$\left({n}−\mathrm{1}\right)^{{th}} \:{degree}\:{and} \\ $$$${p}\left({k}\right)={k}\:{for}\:{k}=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},…,{n} \\ $$$${find}\:{p}\left(\mathrm{0}\right)\:{and}\:{p}\left({n}+\mathrm{1}\right). \\ $$$${example}:\:{n}=\mathrm{10} \\ $$
Commented by MJS last updated on 13/Jun/20
$$\mathrm{I}\:\mathrm{think}\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{impossible}\:\mathrm{for}\:\mathrm{degree}\:{n}−\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{for}\:{n}^{\mathrm{th}} \:\mathrm{degree}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$${p}\left({x}\right)={x}+\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left({x}−{i}\right) \\ $$$${p}\left(\mathrm{0}\right)=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {n}! \\ $$$${p}\left({n}+\mathrm{1}\right)={n}!+{n}+\mathrm{1} \\ $$
Commented by mr W last updated on 13/Jun/20
$${thanks}\:{sir}! \\ $$$${for}\:\left({n}−\mathrm{1}\right)^{{th}} \:{degree}\:{we}\:{have}\:{n}\:{eqn}. \\ $$$${for}\:{n}\:{coefficients},\:{so}\:{the}\:{function} \\ $$$${should}\:{be}\:{unique}.\:{can}\:{you}\:{explain} \\ $$$${why}\:{this}\:{is}\:{not}\:{possible}? \\ $$$${for}\:{n}^{{th}} \:{degree},\:{the}\:{function}\: \\ $$$${p}\left({x}\right)={x}+\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left({x}−{i}\right) \\ $$$${fulfills}\:{all}\:{conditions},\:{but}\:{it}\:{is}\:{not} \\ $$$${unique},\:{i}\:{think}. \\ $$
Commented by MJS last updated on 13/Jun/20
$${n}=\mathrm{3} \\ $$$${ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+{c}={y} \\ $$$${x}={y}=\mathrm{1}:\:{a}+{b}+{c}=\mathrm{1} \\ $$$${x}={y}=\mathrm{2}:\:\mathrm{4}{a}+\mathrm{2}{b}+{c}=\mathrm{2} \\ $$$${x}={y}=\mathrm{3}:\:\mathrm{9}{a}+\mathrm{3}{b}+{c}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{solving}\:\mathrm{leads}\:\mathrm{to}\:{a}={c}=\mathrm{0}\wedge{b}=\mathrm{1} \\ $$$${p}\left({x}\right)={x} \\ $$$$\mathrm{for}\:{n}=\mathrm{4} \\ $$$${ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}+{d}={y} \\ $$$$… \\ $$$${a}={b}={d}=\mathrm{0}\wedge{c}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{p}\left({x}\right)={x} \\ $$$$… \\ $$
Commented by mr W last updated on 13/Jun/20
$${now}\:{clear}\:{sir},\:{thanks}! \\ $$$${all}\:{points}\:\left({k},{k}\right)\:{with}\:{k}=\mathrm{1}..{n}\:{lie}\:{on} \\ $$$${the}\:{line}\:{y}={x},\:{so}\:{p}\left({x}\right)={x}\:{is}\:{indeed} \\ $$$${always}\:{a}\:{suitable}\:{polynomial}\:{for} \\ $$$${the}\:{solution}. \\ $$$${what}\:{do}\:{you}\:{think}?\:{if}\:{p}\left({k}\right)=\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}+\mathrm{1}} {k}, \\ $$$${does}\:{the}\:\left({n}−\mathrm{1}\right)^{{th}} \:{degree}\:{polynomial} \\ $$$${function}\:{exist}? \\ $$
Commented by MJS last updated on 14/Jun/20
$$\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\mathrm{does}\:\mathrm{exist}. \\ $$$${p}_{\mathrm{1}} \left({x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${p}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)=−\mathrm{3}{x}+\mathrm{4} \\ $$$${p}_{\mathrm{3}} \left({x}\right)=\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15}{x}+\mathrm{12} \\ $$$${p}_{\mathrm{4}} \left({x}\right)=−\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{24}{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{155}}{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{32} \\ $$$${p}_{\mathrm{5}} \left({x}\right)=\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{70}}{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{94}{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{455}}{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{80} \\ $$$${p}_{\mathrm{6}} \left({x}\right)=−\frac{\mathrm{14}}{\mathrm{15}}{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{16}{x}^{\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{308}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{304}{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{2037}}{\mathrm{5}}{x}+\mathrm{192} \\ $$$${p}_{\mathrm{7}} \left({x}\right)=\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{45}}{x}^{\mathrm{6}} −\frac{\mathrm{42}}{\mathrm{5}}{x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{704}}{\mathrm{9}}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{364}{x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{39664}}{\mathrm{45}}{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{5173}}{\mathrm{5}}{x}+\mathrm{448} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{of}\:{p}_{{n}} \left(\mathrm{0}\right)\:\mathrm{is} \\ $$$${a}_{{n}} =\langle\mathrm{1},\:\mathrm{4},\:\mathrm{12},\:\mathrm{32},\:\mathrm{80},\:\mathrm{192},\:\mathrm{448},\:…\rangle \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1} \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} ={a}_{\mathrm{1}} ×\mathrm{4} \\ $$$${a}_{\mathrm{3}} ={a}_{\mathrm{2}} ×\mathrm{4}×\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${a}_{\mathrm{4}} ={a}_{\mathrm{3}} ×\mathrm{4}×\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${a}_{\mathrm{5}} ={a}_{\mathrm{4}} ×\mathrm{4}×\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$… \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{seem}\:\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{unable}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:{a}_{{n}} \:\mathrm{in}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:{n} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{of}\:{p}_{{n}} \left({n}+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{is} \\ $$$${b}_{{n}} =\langle\mathrm{1},\:−\mathrm{5},\:\mathrm{16},\:−\mathrm{43},\:\mathrm{106},\:−\mathrm{249},\:\mathrm{568},\:…\rangle \\ $$$$\mathrm{no}\:\mathrm{idea}\:\mathrm{to}\:\mathrm{this}… \\ $$
Commented by mr W last updated on 14/Jun/20
$${thanks}\:{very}\:{much}\:{sir}! \\ $$$${is}\:{following}\:{the}\:{right}\:{path}\:{to}\:{solve}? \\ $$$${say}\:{p}_{{n}} \left({x}\right)=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{c}_{{n},{k}} {x}^{{k}} \\ $$$${p}_{{n}} \left({r}\right)=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{c}_{{n},{k}} {r}^{{k}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{r}+\mathrm{1}} {r} \\ $$$$\begin{bmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{…}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }&{…}&{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }&{…}&{\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} }\\{…}&{…}&{…}&{…}&{…}\\{\mathrm{1}}&{{n}}&{{n}^{\mathrm{2}} }&{…}&{{n}^{{n}−\mathrm{1}} }\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{{c}_{{n},\mathrm{0}} }\\{{c}_{{n},\mathrm{1}} }\\{{c}_{{n},\mathrm{2}} }\\{…}\\{{c}_{{n},{n}−\mathrm{1}} }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}}\\{−\mathrm{2}}\\{\mathrm{3}}\\{…}\\{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} {n}}\end{pmatrix} \\ $$$$\Rightarrow\begin{pmatrix}{{c}_{{n},\mathrm{0}} }\\{{c}_{{n},\mathrm{1}} }\\{{c}_{{n},\mathrm{2}} }\\{…}\\{{c}_{{n},{n}−\mathrm{1}} }\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{…}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }&{…}&{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }&{…}&{\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} }\\{…}&{…}&{…}&{…}&{…}\\{\mathrm{1}}&{{n}}&{{n}^{\mathrm{2}} }&{…}&{{n}^{{n}−\mathrm{1}} }\end{bmatrix}^{−\mathrm{1}} \begin{pmatrix}{\mathrm{1}}\\{−\mathrm{2}}\\{\mathrm{3}}\\{…}\\{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} {n}}\end{pmatrix} \\ $$
Commented by MJS last updated on 15/Jun/20
$${yes} \\ $$