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Let-P-x-is-a-polynomial-such-that-P-1-1-P-2-2-P-3-3-and-P-4-5-Find-the-value-of-P-6-

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Question Number 19638 by Tinkutara last updated on 13/Aug/17
Let P(x) is a polynomial such that P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3, and P(4) = 5. Find the value of P(6).
$$\mathrm{Let}\:{P}\left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{polynomial}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that} \\ $$$${P}\left(\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{1},\:{P}\left(\mathrm{2}\right)\:=\:\mathrm{2},\:{P}\left(\mathrm{3}\right)\:=\:\mathrm{3},\:\mathrm{and} \\ $$$${P}\left(\mathrm{4}\right)\:=\:\mathrm{5}.\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:{P}\left(\mathrm{6}\right). \\ $$
Answered by ajfour last updated on 13/Aug/17
let P(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d P(1)=1, ⇒ a+b+c+d=1 P(2)=2, ⇒ 8a+4b+2c+d=2 P(3)=3, ⇒ 27a+9b+3c+d=3 P(4)=5, ⇒ 64a+16b+4c+d=5 ⇒ 37a+7b+c=2 19a+5b+c=1 7a+3b+c=1 ⇒ 18a+2b=1 12a+2b=0 ⇒ 6a=1 or a=(1/6) b=−1, c=1−3b−7a ⇒ c=1+3−(7/6)=((17)/6) d=1−a−b−c =1−(1/6)+1−((17)/6)= −1 P(x)=(x^3 /6)−x^2 +((17x)/6)−1 P(6)=36−36+17−1=16 .
$$\mathrm{let}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}^{\mathrm{3}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{cx}+\mathrm{d} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1},\:\Rightarrow\:\:\:\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{2},\:\Rightarrow\:\:\mathrm{8a}+\mathrm{4b}+\mathrm{2c}+\mathrm{d}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{3},\:\Rightarrow\:\:\mathrm{27a}+\mathrm{9b}+\mathrm{3c}+\mathrm{d}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{4}\right)=\mathrm{5},\:\Rightarrow\:\mathrm{64a}+\mathrm{16b}+\mathrm{4c}+\mathrm{d}=\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{37a}+\mathrm{7b}+\mathrm{c}=\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{19a}+\mathrm{5b}+\mathrm{c}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{7a}+\mathrm{3b}+\mathrm{c}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:\mathrm{18a}+\mathrm{2b}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{12a}+\mathrm{2b}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:\:\:\mathrm{6a}=\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{or}\:\:\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{b}=−\mathrm{1},\:\:\:\:\:\:\mathrm{c}=\mathrm{1}−\mathrm{3b}−\mathrm{7a} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{c}=\mathrm{1}+\mathrm{3}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{6}}=\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{d}=\mathrm{1}−\mathrm{a}−\mathrm{b}−\mathrm{c} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{6}}=\:−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{17x}}{\mathrm{6}}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{6}\right)=\mathrm{36}−\mathrm{36}+\mathrm{17}−\mathrm{1}=\mathrm{16}\:. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 13/Aug/17
Thank you very much Sir!
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$

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