Menu Close

let-p-x-x-6-ax-5-bx-4-cx-3-dx-2-ex-f-be-a-polynomial-function-such-that-p-1-1-p-2-2-p-3-3-p-4-4-p-5-5-p-6-6-then-find-p-7-




Question Number 175624 by infinityaction last updated on 04/Sep/22
let p(x) = x^6 +ax^5 +bx^4 +cx^3 +dx^2 +ex+f    be a polynomial function such    that  p(1) = 1 ; p(2) = 2 ;  p(3) = 3    p(4) = 4 ; p(5) = 5 ; p(6) = 6  then    find  p(7) = ?
$$\mathrm{let}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{ax}^{\mathrm{5}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{4}} +\mathrm{cx}^{\mathrm{3}} +\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ex}+\mathrm{f} \\ $$$$\:\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{polynomial}\:\mathrm{function}\:\mathrm{such} \\ $$$$\:\:\mathrm{that}\:\:\mathrm{p}\left(\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{1}\:;\:\mathrm{p}\left(\mathrm{2}\right)\:=\:\mathrm{2}\:;\:\:\mathrm{p}\left(\mathrm{3}\right)\:=\:\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\mathrm{p}\left(\mathrm{4}\right)\:=\:\mathrm{4}\:;\:\mathrm{p}\left(\mathrm{5}\right)\:=\:\mathrm{5}\:;\:\mathrm{p}\left(\mathrm{6}\right)\:=\:\mathrm{6}\:\:\mathrm{then} \\ $$$$\:\:\mathrm{find}\:\:\mathrm{p}\left(\mathrm{7}\right)\:=\:? \\ $$
Answered by cortano1 last updated on 04/Sep/22
p(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)+x  p(7)=6.5.4.3.2.1+7=6!+7            = 727
$$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)+\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{7}\right)=\mathrm{6}.\mathrm{5}.\mathrm{4}.\mathrm{3}.\mathrm{2}.\mathrm{1}+\mathrm{7}=\mathrm{6}!+\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{727} \\ $$
Commented by BaliramKumar last updated on 05/Sep/22
p(n) = ?                   [ n > 6 ]
$$\mathrm{p}\left(\mathrm{n}\right)\:=\:?\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left[\:{n}\:>\:\mathrm{6}\:\right] \\ $$
Answered by leodera last updated on 04/Sep/22
  p(x) = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)+x  p(7) = 6! + 7 = 720+7 = 727
$$ \\ $$$${p}\left({x}\right)\:=\:\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}−\mathrm{4}\right)\left({x}−\mathrm{5}\right)\left(\boldsymbol{{x}}−\mathrm{6}\right)+\boldsymbol{{x}} \\ $$$$\boldsymbol{{p}}\left(\mathrm{7}\right)\:=\:\mathrm{6}!\:+\:\mathrm{7}\:=\:\mathrm{720}+\mathrm{7}\:=\:\mathrm{727} \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 04/Sep/22
p(1)=1⇒p(x)=(x−1)a(x)+1  p(2)=a(2)+1=2⇒a(2)=1⇒a(x)=(x−2)b(x)+1  p(x)=(x−1)((x−2)b(x)+1)+1  p(3)=2(b(3)+1)+1=3⇒b(3)=0⇒b(x)=(x−3)c(x)  p(x)=(x−1)((x−2)(x−3)c(x)+1)+1  p(4)=3(2c(4)+1)+1=4⇒c(4)=0⇒c(x)=(x−4)d(x)  ⇒p(x)=(x−1)[(x−2)(x−3)(x−4)d(x)+1)+1  p(5)=4[3.2d(5)+1]+1=5⇒d(5)=0⇒d(x)=(x−5)e(x)  p(x)=(x−1)[(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)e(x)+1]+1  p(6)=5[4.3.2e(6)+1]+1=6⇒e(6)=0⇒e(x)=(x−6)C  ⇒p(x)=(x−1)[(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)C+1]+1  =(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)C+x  p(7)=6!C+7=720C+7, C∈R^∗   but C=1 because p(x)=x^6 +ax^5 +...  ⇒p(7)=727
$$\mathrm{p}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{a}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\mathrm{b}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\mathrm{b}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{b}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{b}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{4}\right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{2c}\left(\mathrm{4}\right)+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{c}\left(\mathrm{4}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{c}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\mathrm{d}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left[\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\mathrm{d}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{5}\right)=\mathrm{4}\left[\mathrm{3}.\mathrm{2d}\left(\mathrm{5}\right)+\mathrm{1}\right]+\mathrm{1}=\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{d}\left(\mathrm{5}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{d}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\mathrm{e}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left[\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\mathrm{e}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}\right]+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{6}\right)=\mathrm{5}\left[\mathrm{4}.\mathrm{3}.\mathrm{2e}\left(\mathrm{6}\right)+\mathrm{1}\right]+\mathrm{1}=\mathrm{6}\Rightarrow\mathrm{e}\left(\mathrm{6}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{e}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\mathrm{C} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left[\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\mathrm{C}+\mathrm{1}\right]+\mathrm{1} \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\mathrm{C}+\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{7}\right)=\mathrm{6}!\mathrm{C}+\mathrm{7}=\mathrm{720C}+\mathrm{7},\:\mathrm{C}\in\mathbb{R}^{\ast} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{C}=\mathrm{1}\:\mathrm{because}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{ax}^{\mathrm{5}} +… \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{7}\right)=\mathrm{727} \\ $$
Commented by infinityaction last updated on 04/Sep/22
thanks sir
$${thanks}\:{sir} \\ $$

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *