Question Number 25852 by abdo imad last updated on 15/Dec/17
$${let}\:{s}\:{put}\:{H}_{{n}} \:=\:\mathrm{1}\:+\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} +\mathrm{3}^{−\mathrm{1}} +….+{n}^{−\mathrm{1}} \:{and}\:\:\:{U}_{{n}} =\:{H}_{{n}} \:−{ln}\left({n}\right) \\ $$$$\:{prove}\:{that}\:{U}_{{n}} \:{is}\:{convergent}\:{to}\:{a}\:{number}\:\:{s}\:{wish}\:{verify} \\ $$$$\mathrm{0}<{s}<\mathrm{1}\:\:\:\left({s}\:{is}\:{named}\:{number}\:{of}\:{Euler}\:\right) \\ $$
Commented by moxhix last updated on 16/Dec/17
$${U}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\int_{\mathrm{1}} ^{{n}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}{dx}\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left(\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}{dx}\right) \\ $$$$\:\:\:\:>\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}−\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}{dx}\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{1}−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\therefore{U}_{{n}} >\mathrm{1}−{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\:\left(\forall{n}\geqslant\mathrm{2}\right) \\ $$$$ \\ $$$${U}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\int_{\mathrm{1}} ^{{n}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{1}+\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}{dx}\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{1}+\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} \frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}{dx}\right) \\ $$$$\:\:\:\:<\mathrm{1}+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\therefore{U}_{{n}} <\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\:\left(\forall{n}\geqslant\mathrm{2}\right) \\ $$$$ \\ $$$${U}_{{n}+\mathrm{1}} −{U}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}−\int_{{n}} ^{{n}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:=\int_{{n}} ^{{n}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:<\mathrm{0} \\ $$$$\therefore{U}_{{n}+\mathrm{1}} <{U}_{{n}} \\ $$$$ \\ $$$$\downarrow \\ $$$$\mathrm{1}−{ln}\left(\mathrm{2}\right)<…<{U}_{{n}+\mathrm{1}} <{U}_{{n}} <…<{U}_{\mathrm{3}} <{U}_{\mathrm{2}} <\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\therefore\exists{s}\in\mathbb{R}{s}.{t}.\:\left({s}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {{lim}U}_{{n}} \:\:{AND}\:\mathrm{0}<\mathrm{1}−{ln}\left(\mathrm{2}\right)\leqslant{s}\leqslant\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−{ln}\left(\mathrm{2}\right)<\mathrm{1}\right) \\ $$