Question Number 40504 by prof Abdo imad last updated on 23/Jul/18
$${let}\:{u}_{{n}} =\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +{k}} \\ $$$${find}\:{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} {n}\left\{\mathrm{1}−{n}\:{u}_{{n}} \right\}\:. \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 23/Jul/18
$${u}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}+…+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +{n}} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}>\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}>\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +{n}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}>\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}>\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +{n}} \\ $$$$… \\ $$$$… \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}>\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +{n}}>\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +{n}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:{T}_{{n}} \leftarrow\frac{{n}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}>{u}_{{n}} >\frac{{n}}{{n}^{\mathrm{2}} +{n}}\rightarrow{v}_{{n}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{n}\left\{\mathrm{1}−{nT}_{{n}} \right\} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:{n}\left\{\mathrm{1}−\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right\}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{n}\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }}\right\}=\mathrm{0} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{n}\left\{\mathrm{1}−{nv}_{{n}} \right\} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{n}\left\{\mathrm{1}−\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}^{\mathrm{2}} +{n}}\right\} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{n}\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}}\right\}=\mathrm{0} \\ $$$${so}\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:{n}\left\{\mathrm{1}−{nu}_{{n}} \right\}=\mathrm{0} \\ $$