Question Number 56477 by problem solverd last updated on 17/Mar/19
$$\mathrm{let}\:{x}\:\mathrm{and}\:{y}\:\mathrm{be}\:\mathrm{two}\:\mathrm{real}\:\mathrm{numbers} \\ $$$$\mathrm{if}\:{x}+{y}\leqslant\mathrm{10}\:\mathrm{prove} \\ $$$$\mathrm{ln}\left({x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{ln}\left({y}+\mathrm{1}\right)\leqslant\mathrm{2ln6} \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 17/Mar/19
$${x}+{y}\leqslant\mathrm{10} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{1}\right)+\left({y}+\mathrm{1}\right)\leqslant\mathrm{12} \\ $$$$\frac{\left({x}+\mathrm{1}\right)+\left({y}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\geqslant\sqrt{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left(\left({y}+\mathrm{1}\right)\right.}\: \\ $$$$\mathrm{6}\geqslant\sqrt{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)}\: \\ $$$$\mathrm{36}\geqslant\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${ln}\left(\mathrm{36}\right)\geqslant{ln}\left({x}+\mathrm{1}\right)+{ln}\left({y}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{ln}\mathrm{6}\geqslant{ln}\left({x}+\mathrm{1}\right)+{ln}\left({y}+\mathrm{1}\right) \\ $$