Question Number 95849 by bobhans last updated on 28/May/20
$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{3}}\:+\:…\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{n}}?? \\ $$
Answered by john santu last updated on 28/May/20
$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{\mathrm{k}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}}\right)\:=\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{\mathrm{k}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{n}}}\right)\: \\ $$$$=\:\underset{\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}} {\int}}\:\frac{{dx}}{{x}}\:=\:\:\left[\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{x}\right)\:\right]\:_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}\right). \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/May/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{3}}+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{n}}\:\Rightarrow\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{n}}}\:\Rightarrow\mathrm{U}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{Rieman}\:\mathrm{sum}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}} \\ $$$$=\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$