Question Number 157883 by HongKing last updated on 29/Oct/21
$$\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\:…\:+\:\frac{\mathrm{n}-\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\:=\:? \\ $$
Answered by puissant last updated on 29/Oct/21
$${S}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+…+\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{k}\:=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right){n}}{\mathrm{2}\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)}{{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right\}}{\left\{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right\}}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.. \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…………\mathscr{L}{e}\:{puissant}……….. \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 29/Oct/21
$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by HongKing last updated on 29/Oct/21
$$\mathrm{alot}\:\mathrm{thanks}\:\mathrm{sir} \\ $$