Question Number 162585 by qaz last updated on 30/Dec/21
$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{2n}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\right)^{\mathrm{n}} =? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Dec/21
![let u_n =2n∫_0 ^1 (x^n /(1+x^2 ))dx changement x=t^(1/n) give u_n =2n∫_0 ^1 (t/(1+t^(2/n) ))(1/n)t^((1/n)−1) dt =2∫_0 ^1 (t^(1/n) /(1+t^(2/n) ))dt →2∫_0 ^1 (1/2)dt=1 u_n ^n =e^(nlog(u_n )) but (t^(1/n) /(1+t^(2/n) ))∼t^(1/n) (1−t^(2/n) )=t^(1/n) −t^(3/n) ⇒ u_n ∼2∫_0 ^1 (t^(1/n) −t^(3/n) )dt=2[(1/((1/n)+1))t^((1/n)+1) −(1/((3/n)+1))t^((3/n)+1) ]_0 ^1 =2{(n/(n+1))t^((1/n)+1) −(n/(n+3))t^((3/n)+1) }_0 ^1 =2n{(1/(n+1))−(1/(n+3))} =2{(1/(1+(1/n)))−(1/(1+(3/n)))}∼2{1−(1/n)−(1−(3/n))}=2((2/n))=(4/n) ⇒ u_n ^n ∼e^(nlog((4/n))) →+∞](https://www.tinkutara.com/question/Q162639.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\mathrm{2n}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}=\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} \:\mathrm{give} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\mathrm{2n}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}} }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\mathrm{1}} \:\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}} }\mathrm{dt}\:\rightarrow\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{dt}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{nlog}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)} \:\:\mathrm{but}\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}} }\sim\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}} \right)=\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} −\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{n}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \sim\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} −\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{n}}} \right)\mathrm{dt}=\mathrm{2}\left[\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\mathrm{1}}\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{n}}+\mathrm{1}}\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{n}}+\mathrm{1}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{2}\left\{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{3}}\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{n}}+\mathrm{1}} \right\}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =\mathrm{2n}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{3}}\right\} \\ $$$$=\mathrm{2}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{n}}}\right\}\sim\mathrm{2}\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{n}}\right)\right\}=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\right)=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}} \:\sim\mathrm{e}^{\mathrm{nlog}\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{n}}\right)} \:\rightarrow+\infty \\ $$
Commented by qaz last updated on 31/Dec/21
$$\mathrm{I}\:\mathrm{got}\:\mathrm{the}\:\mathrm{limit}=“\mathrm{1}''. \\ $$