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lim-n-n-cos-x-1-x-2-n-dx-

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Question Number 160796 by qaz last updated on 06/Dec/21
lim_(n→∞) (√n)∫_(−∞) ^(+∞) ((cos x)/((1+x^2 )^n ))dx=?
$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt{\mathrm{n}}\int_{−\infty} ^{+\infty} \frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} }\mathrm{dx}=? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 06/Dec/21
let A_n =∫_(−∞) ^(+∞) ((cosx)/((x^2 +1)^n ))dx ⇒A_n =Re(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(ix) /((x^2 +1)^n ))dx) and ϕ(z)=(e^(iz) /((z^2 +1)^n )) ⇒ϕ(z)=(e^(iz) /((z−i)^n (z+i)^n )) ∫_R ϕ(z)dz=2iπ Res(ϕ,i) Res(ϕ,i)=lim_(z→i) (1/((n−1)!)){(z−i)^(n ) ϕ(z)}^((n−1)) =lim_(z→i) (1/((n−1)!))(e^(iz) (z+i)^(−n) )^((n−1)) but (z+i)^(−n ) e^(iz) )^((n−1)) =Σ_(k=0) ^(n−1) C_n ^k ((z+i)^(−n) )^((k) ) (e^(iz) )^((n−1−k)) (z+i)^p )^((1)) =p(z+i)^(p−1) (z+i)^p )^((2)) =p(p−1)(z+i)^(p−2) ⇒ (z+i)^p )^((k)) =p(p−1)...(p−k+1)(z+i)^(p−k) ⇒ ((z+i)^(−n) )^((k)) =(−n)(−n−1)....(−n−k+1)(z+i)^(−n−k) =(−1)^k n(n+1)...(n+k−1)(z+i)^(−n−k) ⇒ ((z+i)^(−n) e^(iz) )^((n−1)) =Σ_(k=0) ^(n−1) C_n ^k (−1)^k n(n+1)....(n+k−1)(z+i)^(−n−k) (i)^(n−1−k) e^(iz) ⇒ Res(ϕ,i)=(1/((n−1)!))Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k C_n ^k n(n+1)....(n+k−1)(2i)^(−n−k) i^(n−1−k ) e^(−1) ....be continued...
$$\mathrm{let}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cosx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} } \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}\:} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \:\:\mathrm{but} \\ $$$$\left.\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}\:} \mathrm{e}^{\mathrm{iz}} \right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \left(\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right)^{\left(\mathrm{k}\right)\:} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} \right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}−\mathrm{k}\right)} \\ $$$$\left.\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{p}} \right)^{\left(\mathrm{1}\right)} =\mathrm{p}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{p}−\mathrm{1}} \\ $$$$\left.\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{p}} \right)^{\left(\mathrm{2}\right)} \:=\mathrm{p}\left(\mathrm{p}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{p}−\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\left.\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{p}} \right)^{\left(\mathrm{k}\right)} =\mathrm{p}\left(\mathrm{p}−\mathrm{1}\right)…\left(\mathrm{p}−\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{p}−\mathrm{k}} \:\Rightarrow \\ $$$$\left(\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right)^{\left(\mathrm{k}\right)} =\left(−\mathrm{n}\right)\left(−\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)….\left(−\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{k}} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)…\left(\mathrm{n}+\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{k}} \:\Rightarrow \\ $$$$\left(\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} \right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{n}+\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{k}} \left(\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}−\mathrm{k}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{n}+\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2i}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{k}} \mathrm{i}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}−\mathrm{k}\:} \mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \\ $$$$….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$

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