Question Number 174630 by infinityaction last updated on 06/Aug/22
$$\:\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{r}}{{n}^{\mathrm{2}} +{r}} \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 06/Aug/22
$$\:\:\:\:\:{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{n}^{\:\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}\:+{n}^{\:\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}+{n}^{\:\mathrm{2}} }\:+…\frac{{n}}{{n}+{n}^{\:\mathrm{2}} }\:={a}_{\:{n}} \right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\leqslant\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{n}^{\:\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+{n}^{\:\mathrm{2}} }\:+…+\frac{{n}}{\mathrm{1}+{n}^{\:\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+{n}^{\:\mathrm{2}} \right)}\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{a}_{{n}} \:\geqslant\frac{\mathrm{1}}{{n}+{n}^{\:\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{2}}{{n}+{n}^{\:\mathrm{2}} }\:+…+\frac{{n}}{{n}+{n}^{\:\mathrm{2}} } \\ $$$$=\:\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}{n}\left(\mathrm{1}+{n}\right)}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\leqslant\:{a}_{\:{n}} \:\leqslant\:\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+{n}\:^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{lim}_{{n}\rightarrow} \:\left({a}_{\:{n}} \right)=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by infinityaction last updated on 06/Aug/22
$${thanks}\:{sir} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 06/Aug/22
$$\:{you}\:{are}\:{welcome}\:{sir}… \\ $$