Question Number 159395 by cortano last updated on 16/Nov/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}−\sqrt[{{n}}]{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:{n}=? \\ $$
Answered by qaz last updated on 16/Nov/21
$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}−\sqrt[{\mathrm{n}}]{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{lncos}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{6} \\ $$
Answered by tounghoungko last updated on 16/Nov/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}−\sqrt[{{n}}]{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}−\sqrt[{{n}}]{\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}}{{n}}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}}{{n}}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{2}}{{n}}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\Rightarrow\:{n}\:=\:\mathrm{6}\:. \\ $$