Question Number 144556 by imjagoll last updated on 26/Jun/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\:=? \\ $$
Answered by liberty last updated on 26/Jun/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)=? \\ $$$$\mathrm{Sol}:\: \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\:\mathrm{2}\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\mathrm{2}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\:\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}}\right).\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}.\:\blacktrinagledown \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Jun/21
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cosx}\sqrt{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{cosx}\sim\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\sim\mathrm{1}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\sqrt{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}\sim\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }\sim\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim\frac{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$