Question Number 159727 by blackmamba last updated on 20/Nov/21
$$\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\sqrt[{{x}^{\mathrm{3}} }]{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{1}−\left(\frac{{x}}{\mathrm{sin}\:{x}}\right)\right)}\:?\: \\ $$
Answered by FongXD last updated on 20/Nov/21
![L=lim_(x→0^+ ) [1+tan(1−(x/(sinx)))]^(1/x^3 ) L=lim_(x→0^+ ) {[1+tan(1−(x/(sinx)))]^(1/(tan(1−(x/(sinx))))) }^((tan(1−(x/(sinx))))/x^3 ) L=lim_(x→0^+ ) e^((tan(1−(x/(sinx))))/x^3 ) =e^(lim_(x→0^+ ) ((tan(1−(x/(sinx))))/(1−(x/(sinx))))×((sinx−x)/(x^3 sinx))) L=e^(lim_(x→0^+ ) ((sinx−x)/x^3 )×lim_(x→0^+ ) (1/(sinx))) where M=lim_(x→0^+ ) ((sinx−x)/x^3 )=lim_(x→0^+ ) ((sin3x−3x)/(27x^3 )) (change x to 3x) ⇔ 27M=lim_(x→0^+ ) ((3sinx−4sin^3 x−3x)/x^3 )=3lim_(x→0^+ ) ((sinx−x)/x^3 )−4lim_(x→0^+ ) (((sinx)/x))^3 ⇔ 27M=3M−4, ⇒ M=lim_(x→0^+ ) ((sinx−x)/x^3 )=−(1/6) then L=e^(−(1/6)lim_(x→0^+ ) (1/(sinx))) =0](https://www.tinkutara.com/question/Q159735.png)
$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\left[\mathrm{1}+\mathrm{tan}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }} \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\left\{\left[\mathrm{1}+\mathrm{tan}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}}\right)}} \right\}^{\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }} \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}e}^{\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }} =\mathrm{e}^{\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}}\right)}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}}}×\frac{\mathrm{sinx}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{sinx}}} \\ $$$$\mathrm{L}=\mathrm{e}^{\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sinx}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }×\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sinx}}} \\ $$$$\mathrm{where}\:\mathrm{M}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sinx}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin3x}−\mathrm{3x}}{\mathrm{27x}^{\mathrm{3}} }\:\left(\mathrm{change}\:\mathrm{x}\:\mathrm{to}\:\mathrm{3x}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{27M}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{3sinx}−\mathrm{4sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\mathrm{3x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{3}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sinx}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{4}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{27M}=\mathrm{3M}−\mathrm{4},\:\Rightarrow\:\mathrm{M}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sinx}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{L}=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sinx}}} =\mathrm{0} \\ $$