Question Number 162081 by cortano last updated on 26/Dec/21
$$\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:=?\right. \\ $$
Answered by mr W last updated on 26/Dec/21
$$\frac{\mathrm{1}}{{L}}\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:} \\ $$$$\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:}{\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}\:} \\ $$$$\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:}{\:\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}\:} \\ $$$$\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{{x}+{x}\sqrt{{x}}}}\:+\sqrt{\mathrm{1}−\sqrt{{x}+{x}\sqrt{{x}}}}\:}{\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}\:} \\ $$$$\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{0}}\:+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{0}}\:}{\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{0}}\:}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow{L}=\mathrm{1} \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 26/Dec/21
$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by blackmamba last updated on 26/Dec/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}\:−\sqrt{{x}−\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}\: \\ $$$$\:=\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2}\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}{\:\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}+\sqrt{{x}−\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}}\: \\ $$$$\:=\:\mathrm{2}×\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{{x}}\:\left(\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}\:\right)}{\:\sqrt{{x}}\:\left(\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}}}+\sqrt{\mathrm{1}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}}}\:\right)} \\ $$$$\:\:=\:\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{1} \\ $$