Question Number 192651 by beto last updated on 24/May/23
$$ \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \frac{\mathrm{2}−\sqrt{{cos}\left({x}\right)}−{cos}\left({x}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by cortano12 last updated on 24/May/23
$$\:\mathrm{L}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\right)+\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{L}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }\:+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{L}=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{L}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{3}.\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$
Answered by Subhi last updated on 24/May/23
$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}−\sqrt{{cos}\left({x}\right)}}{{x}^{\mathrm{2}} }.\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{cos}\left({x}\right)}}{\mathrm{1}+\sqrt{{cos}\left({x}\right)}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}−{cos}\left({x}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} .\left(\mathrm{1}+\sqrt{{cos}\left({x}\right)}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\sqrt{{cos}\left({x}\right)}\right)} \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \left(\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}.\left(\mathrm{1}+\sqrt{{cos}\left({x}\right)}\right)}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$