Question Number 162523 by cortano last updated on 30/Dec/21
$$\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{7tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:\mathrm{7}{x}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:=? \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 30/Dec/21
$$\mathscr{L}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{7tan}{x}−\mathrm{tan7}{x}}{{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{7}\left({x}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\right)−\left(\mathrm{7}{x}+\frac{\left(\mathrm{7}{x}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\right)}{{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\left(\frac{\mathrm{7}{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{343}{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\right)=\frac{\mathrm{7}−\mathrm{343}}{\mathrm{3}}=−\mathrm{112} \\ $$
Answered by bobhans last updated on 30/Dec/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{7tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{7x}+\mathrm{7x}−\mathrm{tan}\:\mathrm{7x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:= \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{7}\left(\mathrm{tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:−\mathrm{343}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{7x}−\mathrm{7x}}{\left(\mathrm{7x}\right)^{\mathrm{3}} }\:= \\ $$$$\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{343}}{\mathrm{3}}\:=\:−\mathrm{112} \\ $$