Question Number 104899 by bramlex last updated on 24/Jul/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{sin}\:{x}\right)−\mathrm{cos}\:\left({x}\right)}{{x}^{\mathrm{4}} }\:?\: \\ $$
Answered by john santu last updated on 24/Jul/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\mathrm{2sin}\:\left(\frac{{x}+\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{sin}\:\left(\frac{\mathrm{sin}\:{x}−{x}}{\mathrm{2}}\right)}{{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{2}\left(\frac{{x}+\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{2}}\right)\left(\frac{\mathrm{sin}\:{x}−{x}}{\mathrm{2}}\right)}{{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}−\frac{\left({x}+{x}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\right)\left({x}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}−{x}\right)}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:−\frac{\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\left(\mathrm{2}{x}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} }\:=−\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{x}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right)}{\mathrm{12}{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:.\:\left({JS}\:\spadesuit\right) \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 24/Jul/20
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{cosx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{2n}} }{\left(\mathrm{2n}\right)!}\:=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}\:+… \\ $$$$\mathrm{sinx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!}\:=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\:+…\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{sinx}\right)\:=\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\:+…\right)\:=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\right)^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}!}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\right)^{\mathrm{4}} \:+… \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}\right)^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}\right)^{\mathrm{4}} \:+…. \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{3}!\right)^{\mathrm{2}} }\right)\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}\right)^{\mathrm{2}} +… \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{3}!}\:−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{3}!\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{3}!\right)^{\mathrm{2}} }\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{3}!\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\left.=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{3}!}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{3}!\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{3}!\right)^{\mathrm{2}} }\right)−\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}\:+…\right) \\ $$$$\sim\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}!}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:\Rightarrow\mathrm{cos}\left(\mathrm{sinx}\right)−\mathrm{cosx}\:\:\sim\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}!}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!} \\ $$$$=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{3}!}\:\Rightarrow\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{sinx}\right)−\mathrm{cosx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}!}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}} \\ $$