Question Number 120427 by bramlexs22 last updated on 31/Oct/20
$$\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{cos}\:{x}+\sqrt{\mathrm{2sin}\:{x}+{x}}}\:−\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$
Answered by john santu last updated on 31/Oct/20
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{cos}\:{x}+\sqrt{\mathrm{2sin}\:{x}+{x}}}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:{x}}\:= \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{cos}\:{x}+\sqrt{\mathrm{2sin}\:{x}+{x}}}+\mathrm{1}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{cos}\:{x}−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2sin}\:{x}+{x}}}{\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left({x}/\mathrm{2}\right)+\sqrt{\mathrm{2sin}\:{x}+{x}}}{\mathrm{2sin}\:\left({x}/\mathrm{2}\right)\mathrm{cos}\:\left({x}/\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\left[\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:−\mathrm{tan}\:\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\sqrt{\frac{\mathrm{2sin}\:{x}+{x}}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}}}\:\right] \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\:\left[\:\mathrm{0}\:+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\sqrt{\frac{\mathrm{3}}{{x}}}\:\right]\:=\:\infty\: \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Oct/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{cosx}+\sqrt{\mathrm{2sinx}+\mathrm{x}}}−\mathrm{1}}{\mathrm{sinx}}\:\:\mathrm{we}\:\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{cosx}\sim\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{2sin}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}\:\sim\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)+\mathrm{x}\:=\mathrm{3x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2sinx}+\mathrm{x}}\sim\sqrt{\mathrm{3x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}}=\sqrt{\mathrm{3x}}\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9}}}\sim\sqrt{\mathrm{3x}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{18}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{cosx}+\sqrt{\mathrm{2sinx}+\mathrm{x}}−\mathrm{1}\sim\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{18}}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sim−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{3x}}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{3x}}}{\mathrm{18}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}}−\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=+\infty \\ $$