Question Number 185537 by mathlove last updated on 23/Jan/23
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{e}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{4}{e}^{{x}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}{{x}^{\mathrm{3}} }=? \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 23/Jan/23
$$\mathrm{Same}\:\mathrm{method}\:\mathrm{as}\:\mathrm{above} \\ $$$${e}^{\mathrm{2}{x}} \rightarrow\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}} \\ $$$${e}^{{x}} \rightarrow\mathrm{1}+{x}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}} \\ $$
Answered by LEKOUMA last updated on 24/Jan/23
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{e}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{4}{e}^{{x}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}+\frac{\left(\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\left(\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{4}\left(\mathrm{1}+{x}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)+\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}{{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}−\mathrm{4}{x}−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} }{{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{x}^{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)}{{x}^{\mathrm{3}} }=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{e}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{4}{e}^{{x}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$