Question Number 111259 by bobhans last updated on 03/Sep/20
$$\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{3x}}}\:? \\ $$
Commented by bobhans last updated on 03/Sep/20
$$\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{3x}}}\:.\:\frac{\sqrt{\mathrm{3x}}}{\:\sqrt{\mathrm{3x}}}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3x}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{3x}} \\ $$$$\:\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3x}}}{\mathrm{3}}\:×\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{2x}}\:=\:\mathrm{0}×\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by abdomsup last updated on 03/Sep/20
$${ch}\:.\sqrt{{x}}={t}\:{give}\:{lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\frac{{sin}\left(\mathrm{2}{x}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\sqrt{{x}}} \\ $$$$={lim}_{{t}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\frac{{sin}\left(\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \right)}{{t}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$={lim}_{{t}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\:\:\frac{\mathrm{2}{t}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:×\frac{{sin}\left(\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{0}×\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$