Question Number 97199 by bobhans last updated on 07/Jun/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}{\left(\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right)}\:=\:? \\ $$
Answered by john santu last updated on 07/Jun/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{tan}\:\left({x}\right)\:\left(\mathrm{cos}\:{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}}−\mathrm{1}\right)}\:= \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{tan}\:\left({x}\right)\:\left(−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)\right)}{\left(\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{sin}\:\left({x}\right)}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)}\:= \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{x}^{\mathrm{3}} }{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{x}^{\mathrm{3}} }\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{1}}=−\mathrm{3} \\ $$
Commented by bobhans last updated on 07/Jun/20
$$\mathrm{yesss}….\mathrm{sir} \\ $$