Question Number 176154 by cortano1 last updated on 14/Sep/22
$$\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}\:=? \\ $$
Answered by adhigenz last updated on 14/Sep/22
$$=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)} \\ $$$$=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}} \\ $$$$=\:\mathrm{2} \\ $$