Question Number 116043 by bemath last updated on 30/Sep/20
$$\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }}{\mathrm{x}}\:? \\ $$$$\:\:\:\int\:\mathrm{sinh}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{cosh}\:\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{find}\:\mathrm{x}\:\mathrm{from}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\right)=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 30/Sep/20
$$\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{4}} }}{{x}}=\frac{{x}\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}{{x}}=\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\:\mathrm{limit}\:\mathrm{is}\:\mathrm{1} \\ $$$$\int\mathrm{sinh}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\mathrm{cosh}\:{x}\:{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{sinh}^{\mathrm{3}} \:{x}\:+{C} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{2arctan}\:{x}\:=\frac{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:{x}=\pm\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}} \\ $$