Question Number 38893 by gunawan last updated on 01/Jul/18
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{x}\left({a}+{b}\:\mathrm{cos}\:{x}\right)−{c}\:\mathrm{sin}\:{x}}{{x}^{\mathrm{5}} }=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:{a},{b},\:\mathrm{and}\:{c} \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 01/Jul/18
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{ax}+{bx}\left(\mathrm{1}−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}+\frac{{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}+…\right)−{c}\left(\frac{{x}}{\mathrm{1}}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}+\frac{{x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{5}!}+..\right)}{{x}^{\mathrm{5}} } \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{x}\left({a}+{b}−{c}\right)+{b}\left(\frac{−{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}!}+\frac{{x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{4}!}+..\right)−{c}\left(−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}+\frac{{x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{5}!}..\right)}{{x}^{\mathrm{5}} } \\ $$$$\frac{{lim}}{{x}\rightarrow\mathrm{0}}\frac{\left({a}+{b}−{c}\right)+{b}\left(−\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}+..\right)−{c}\left(\frac{−\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}+\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{5}!}+..\right.}{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$${so}\:{for}\left(\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}}\right)\:{form}\:{a}+{b}−{c}=\mathrm{0}…..{eqn}\:\mathrm{1} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{b}\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}!}+..\right)−{c}\left(\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{3}!}+\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{5}!}+..\right)}{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${b}\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}!}\right)+{c}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}!}\right)=\mathrm{0}\:\:\:{for}\left(\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}}\right)\:{form} \\ $$$$\frac{{c}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3}{b}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0}\:\:\:{c}=\mathrm{3}{b} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{b}\left(\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}!}+..\right)−{c}\left(\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{5}!}+..\right)}{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1}\:\: \\ $$$$\frac{{b}}{\mathrm{4}!}−\frac{{c}}{\mathrm{5}!}=\mathrm{1}\:\:\:\:\:\frac{{b}}{\mathrm{24}}−\frac{{c}}{\mathrm{120}}=\mathrm{1} \\ $$$$\frac{{b}}{\mathrm{24}}−\frac{\mathrm{3}{b}}{\mathrm{120}}=\mathrm{1}\:\:\: \\ $$$$\frac{{b}}{\mathrm{24}}−\frac{{b}}{\mathrm{40}}=\mathrm{1}\:\:\:\:\:{so}\:\frac{\mathrm{5}{b}−\mathrm{3}{b}}{\mathrm{3}×\mathrm{8}×\mathrm{5}}=\mathrm{1}\:\: \\ $$$$\mathrm{2}{b}=\mathrm{3}×\mathrm{8}×\mathrm{5}\:\:\:\:{b}=\mathrm{60}\:\: \\ $$$${c}=\mathrm{3}×\mathrm{60}=\mathrm{180} \\ $$$${a}+{b}−{c}=\mathrm{0}\:\:\:{a}={c}−{b} \\ $$$${a}=\mathrm{180}−\mathrm{60}=\mathrm{120} \\ $$$$ \\ $$