Question Number 160218 by qaz last updated on 26/Nov/21
$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{arctan}\:\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dt}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}=? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Nov/21
$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \:\:\:\:\frac{\mathrm{arctan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{arctan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}×\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \:\:\mathrm{arctan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}×\sqrt{\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{arctan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}} \\ $$