Question Number 163931 by mathlove last updated on 12/Jan/22
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{x}^{{x}^{{x}} } }{{x}}=? \\ $$$${pleas}\:\:{help} \\ $$
Answered by mahdipoor last updated on 12/Jan/22
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{lnx}}{\frac{\mathrm{1}}{{x}^{{x}} −\mathrm{1}}}=\frac{−\infty}{\infty}\overset{{hop}} {\Rightarrow}\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}{\frac{−{x}^{{x}} \left({xlnx}+\mathrm{1}\right)}{\left({x}^{{x}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}= \\ $$$$\frac{\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\left({x}^{{x}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{x}}}{\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}−{x}^{{x}} \left({xlnx}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2}\left({x}^{{x}} −\mathrm{1}\right){x}^{{x}} \left({xlnx}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}}}{−\mathrm{1}\left(\mathrm{0}+\mathrm{1}\right)}= \\ $$$$\frac{\frac{\mathrm{2}×\mathrm{0}×\mathrm{1}×\left(\mathrm{0}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}}}{−\mathrm{1}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{x}^{{x}^{{x}} } }{{x}}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}{x}^{\left({x}^{{x}} −\mathrm{1}\right)} ={e}^{\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{lnx}}{\mathrm{1}/\left({x}^{{x}} −\mathrm{1}\right)}} ={e}^{\mathrm{0}} =\mathrm{1} \\ $$
Commented by mathlove last updated on 12/Jan/22
$${thanks} \\ $$