Question Number 170221 by mathlove last updated on 18/May/22
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\left(\sqrt{{x}}\right)^{\sqrt{{x}}} −{x}^{{x}} }{\left(\sqrt{{x}}\right)^{{x}} −{x}^{\sqrt{{x}}} }\right)=? \\ $$$${help}\:{me} \\ $$
Commented by mathlove last updated on 19/May/22
$${any}\:{one}\:{is}\:{answer}\: \\ $$
Answered by qaz last updated on 19/May/22
$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)^{\sqrt{\mathrm{x}}} −\mathrm{x}^{\mathrm{x}} }{\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}} −\mathrm{x}^{\sqrt{\mathrm{x}}} }=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\sqrt{\mathrm{x}}} −\mathrm{e}^{\mathrm{xlnx}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{xln}\sqrt{\mathrm{x}}} −\mathrm{e}^{\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}} }=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{xlnx}} \left(\mathrm{e}^{\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{xlnx}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{e}^{\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{xln}\sqrt{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}} −\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{e}^{\left(\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{x}}\right)\mathrm{lnx}} \left(\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{xlnx}\right)}{\mathrm{xln}\sqrt{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\sqrt{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{lnx}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{lnx}−\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}−\mathrm{lnx}}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mathlove last updated on 19/May/22
$$\mathcal{NICE} \\ $$