Question Number 188933 by horsebrand11 last updated on 09/Mar/23
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{4}{x}−\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}=? \\ $$
Commented by TUN last updated on 09/Mar/23
$$ \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{\mathrm{4}{x}−\mathrm{3}}−\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)+\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}−{x}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{4}{x}−\mathrm{3}}+\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}+{x}} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}−\mathrm{2}+\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 09/Mar/23
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{4x}−\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}}−\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}−\frac{\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{4x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} }}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by cortano12 last updated on 09/Mar/23
$$\:\mathrm{L}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{4x}−\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\mathrm{L}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{L}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{4x}+\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}−\mathrm{3x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{L}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{4x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{4x}\right)^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{2x}\right)^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{3x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{L}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2x}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{L}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\: \\ $$
Commented by leandrosriv02 last updated on 11/Mar/23
$$ \\ $$$$\:\mathrm{L}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{4x}−\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\mathrm{L}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{L}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{4x}+\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}−\mathrm{3x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{L}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{4x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{4x}\right)^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{2x}\right)^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{3x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{L}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2x}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{L}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\: \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{4x}−\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\begin{array}{|c|c|}{{x}}&\hline{\mathrm{1}.\mathrm{1}}&\hline{\mathrm{1}.\mathrm{01}}&\hline{\mathrm{1}.\mathrm{001}}&\hline{\mathrm{0}.\mathrm{999}}&\hline{\mathrm{0}.\mathrm{99}}&\hline{\mathrm{0}.\mathrm{9}}\\{{f}\left({x}\right)}&\hline{−\mathrm{2}.\mathrm{1}}&\hline{−\mathrm{2}.\mathrm{45}}&\hline{−\mathrm{2}.\mathrm{495}}&\hline{−\mathrm{2}.\mathrm{504}}&\hline{−\mathrm{2}.\mathrm{54}}&\hline{−\mathrm{3}.\mathrm{0}}\\\hline\end{array} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{−} } {\mathrm{lim}}{f}\left({x}\right)=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}{f}\left({x}\right)=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$${El}\:{limite}\:{existe}\:{y}\:{es}\:{discontinua}\:{evitable}\:{en}\:{x}=\mathrm{1} \\ $$