Question Number 160077 by qaz last updated on 24/Nov/21
$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{654}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{654}} }−\frac{\mathrm{678}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{678}} }\right)=? \\ $$
Commented by cortano last updated on 25/Nov/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{654}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{654}} }\:−\:\frac{\mathrm{678}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{678}} }\right) \\ $$$$\:{let}\:\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{654}} \:=\:{u}\:;\:{x}^{\mathrm{654}} =\mathrm{1}−{u} \\ $$$$\:{x}^{\mathrm{678}} ={x}^{\mathrm{654}} .{x}^{\mathrm{24}} =\left(\mathrm{1}−{u}\right)\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{654}}} \\ $$$$=\:\underset{{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{654}}{{u}}\:−\frac{\mathrm{678}}{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{\frac{\mathrm{113}}{\mathrm{109}}} }\:\right) \\ $$$$=\:\underset{{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{654}\left(\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{\frac{\mathrm{113}}{\mathrm{109}}} \right)−\mathrm{678}{u}}{{u}\left(\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{\frac{\mathrm{113}}{\mathrm{109}}} \right)}\right) \\ $$$$=\:\underset{{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{654}\left(\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{113}}{\mathrm{109}}{u}+\frac{\mathrm{226}}{\mathrm{11881}}{u}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{678}{u}\right.}{{u}\left(\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{113}}{\mathrm{109}}{u}+\frac{\mathrm{226}}{\mathrm{11881}}{u}^{\mathrm{2}} \right)\right)}\right) \\ $$$$=\underset{{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{654}\left(\frac{\mathrm{113}}{\mathrm{109}}{u}−\frac{\mathrm{226}}{\mathrm{11881}}{u}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{678}{u}}{{u}\left(\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{113}}{\mathrm{109}}{u}+\frac{\mathrm{226}}{\mathrm{11881}}{u}^{\mathrm{2}} \right)\right)}\right) \\ $$$$=\:\underset{{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{−\frac{\mathrm{1356}}{\mathrm{109}}{u}^{\mathrm{2}} }{{u}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{113}}{\mathrm{109}}−\frac{\mathrm{226}}{\mathrm{11881}}{u}\right)}\right) \\ $$$$\:=\:−\frac{\mathrm{1356}}{\mathrm{113}}=−\mathrm{12} \\ $$
Commented by blackmamba last updated on 24/Nov/21
$${correct} \\ $$
Commented by qaz last updated on 24/Nov/21
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{a}\:\mathrm{lot} \\ $$
Commented by bobhans last updated on 25/Nov/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{654}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{678}} \right)−\mathrm{678}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{654}} \right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{654}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{678}} \right)}\right) \\ $$$$=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{−\mathrm{24}−\mathrm{654x}^{\mathrm{678}} +\mathrm{678x}^{\mathrm{654}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{654}} −\mathrm{x}^{\mathrm{678}} +\mathrm{x}^{\mathrm{1332}} }\right) \\ $$$$\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{−\mathrm{443412x}^{\mathrm{677}} +\mathrm{443412x}^{\mathrm{653}} }{−\mathrm{654x}^{\mathrm{653}} −\mathrm{678x}^{\mathrm{677}} +\mathrm{1332x}^{\mathrm{1331}} }\right) \\ $$$$\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{−\mathrm{300189924x}^{\mathrm{676}} +\mathrm{289548036x}^{\mathrm{652}} }{−\mathrm{427062x}^{\mathrm{652}} −\mathrm{459006x}^{\mathrm{676}} +\mathrm{1772892x}^{\mathrm{1330}} }\right) \\ $$$$\:=\frac{−\mathrm{10641888}}{\mathrm{886824}}\:=−\mathrm{12} \\ $$
Answered by FongXD last updated on 24/Nov/21
$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{m}} }−\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }\right) \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{m}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right)−\mathrm{n}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{m}} \right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{m}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right)} \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left[\mathrm{m}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+…+\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)−\mathrm{n}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+…+\mathrm{x}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \right)\right]}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+…+\mathrm{x}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+…+\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)} \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{m}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +…+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{m}\left(\overset{\mathrm{n}\:\mathrm{times}} {\mathrm{1}+…+\mathrm{1}+\mathrm{1}}\right)−\mathrm{n}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} +…+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{n}\left(\overset{\mathrm{m}\:\mathrm{times}} {\mathrm{1}+…+\mathrm{1}+\mathrm{1}}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+…+\mathrm{x}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+…+\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)} \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{m}\left[\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)+…+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\right]−\mathrm{n}\left[\left(\mathrm{x}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)+…+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\right]}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+…+\mathrm{x}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+…+\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)} \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left\{\mathrm{m}\left[\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +…+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+…+\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right]−\mathrm{n}\left[\left(\mathrm{x}^{\mathrm{m}−\mathrm{2}} +…+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+…+\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right]\right\}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+…+\mathrm{x}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+…+\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)} \\ $$$$\mathrm{L}=\frac{\mathrm{m}\left[\left(\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}\:\mathrm{times}} {\mathrm{1}+…+\mathrm{1}+\mathrm{1}}\right)+…+\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right]−\mathrm{n}\left[\left(\overset{\mathrm{m}−\mathrm{1}\:\mathrm{times}} {\mathrm{1}+…+\mathrm{1}+\mathrm{1}}\right)+…+\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right]}{−\left(\underset{\mathrm{m}\:\mathrm{times}} {\mathrm{1}+\mathrm{1}+…+\mathrm{1}}\right)\left(\underset{\mathrm{n}\:\mathrm{times}} {\mathrm{1}+\mathrm{1}+…+\mathrm{1}}\right)} \\ $$$$\mathrm{L}=\frac{\mathrm{m}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\right)−\mathrm{n}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)\right)}{−\mathrm{mn}} \\ $$$$\mathrm{L}=\frac{\frac{\mathrm{mn}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{nm}\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}}{−\mathrm{mn}}=\frac{\mathrm{m}−\mathrm{n}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{take}\:\mathrm{m}=\mathrm{654}\:\mathrm{and}\:\mathrm{n}=\mathrm{678},\:\Rightarrow\:\mathrm{L}=\frac{\mathrm{654}−\mathrm{678}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{12} \\ $$
Commented by mr W last updated on 24/Nov/21
$${great}! \\ $$
Commented by FongXD last updated on 24/Nov/21
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{sir}! \\ $$
Commented by qaz last updated on 24/Nov/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$