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lim-x-1-a-1-x-a-b-1-x-b-with-a-b-R-2-

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Question Number 118272 by bramlexs22 last updated on 16/Oct/20
lim_(x→1) ((a/(1−x^a )) − (b/(1−x^b )) ) = with (a,b) ∈(R^+ )^2
$$\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{{a}}{\mathrm{1}−{x}^{{a}} }\:−\:\frac{{b}}{\mathrm{1}−{x}^{{b}} }\:\right)\:=\: \\ $$$${with}\:\left({a},{b}\right)\:\in\left(\mathbb{R}^{+} \right)^{\mathrm{2}} \: \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 16/Oct/20
let f(x) =(a/(1−x^a ))−(b/(1−x^b )) we do the changement x−1=t ⇒ f(x)=f(1+t) =(a/(1−(1+t)^a ))−(b/(1−(1+t)^b )) (x→1 ⇒t→0) ⇒(1+t)^a ∼1+at +((a(a−1))/2)t^2 and (1+t)^b ∼1+bt+((b(b−1))/2)t^2 ⇒ ⇒f(1+t)∼ (a/(1−1−at−((a(a−1))/2)t^2 ))−(b/(1−1−bt−((b(b−1))/2)t^2 )) =(1/(−t−((a−1)/2)t^2 ))−(1/(−t−((b−1)/2)t^2 )) =((−t−((b−1)/2)t^2 +t+((a−1)/2)t^2 )/((t+((a−1)/2)t^2 )(t+((b−1)/2)t^2 ))) =((((a−1−b+1)/2)t^2 )/(t^2 (1+((a−1)/2)t)(1+((b−1)/2)t))) ⇒ f(1+t)∼((a−b)/(2(1+((a−1)/2)t)(1+((b−1)/2)t))) ⇒lim_(t→0) f(1+t) =((a−b)/2) ⇒ lim_(t→1) f(x) =((a−b)/2)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{a}} }−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{b}} }\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{a}} }−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{b}} }\:\:\left(\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{a}} \:\sim\mathrm{1}+\mathrm{at}\:+\frac{\mathrm{a}\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\:\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{b}} \:\sim\mathrm{1}+\mathrm{bt}+\frac{\mathrm{b}\left(\mathrm{b}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\sim\:\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{1}−\mathrm{at}−\frac{\mathrm{a}\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{1}−\mathrm{1}−\mathrm{bt}−\frac{\mathrm{b}\left(\mathrm{b}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{t}−\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{t}−\frac{\mathrm{b}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{−\mathrm{t}−\frac{\mathrm{b}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{t}+\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}+\frac{\mathrm{b}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}−\mathrm{b}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{b}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\sim\frac{\mathrm{a}−\mathrm{b}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{b}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{a}−\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{1}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{a}−\mathrm{b}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$

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