Question Number 121410 by john santu last updated on 07/Nov/20
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt[{\mathrm{p}}]{\mathrm{x}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{q}}]{\mathrm{x}}−\mathrm{1}}\:?\: \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 07/Nov/20
$${x}={t}^{{pq}} \\ $$$${li}\underset{{t}\rightarrow\mathrm{1}} {{m}}\:\frac{{t}^{{q}} −\mathrm{1}}{{t}^{{p}} −\mathrm{1}} \\ $$$${li}\underset{{t}\rightarrow\mathrm{1}} {{m}}\:\frac{\frac{{t}^{{q}} −\mathrm{1}}{{t}−\mathrm{1}}}{\frac{{t}^{{p}} −\mathrm{1}}{{t}−\mathrm{1}}}=\frac{{q}×\left(\mathrm{1}\right)^{{q}−\mathrm{1}} }{{p}×\left(\mathrm{1}\right)^{{p}−\mathrm{1}} }=\frac{{q}}{{p}} \\ $$
Answered by liberty last updated on 07/Nov/20
$$\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{q}}} −\mathrm{1}}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}}\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}}−\mathrm{1}} }{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{q}}\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{q}}−\mathrm{1}} } \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{qx}^{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{p}}{\mathrm{p}}} }{\mathrm{px}^{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{q}}{\mathrm{q}}} }\:=\:\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}. \\ $$