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lim-x-1-x-1-x-2-1-




Question Number 111100 by bobhans last updated on 02/Sep/20
lim_(x→1^+ )  ((x−1)/( (√(x^2 −1)))) ?
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:? \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 02/Sep/20
lim_(x→1^+ )  ((x−1)/( (√(x^2 −1)))) =lim_(x→1^+ ) ((x−1)/( (√((x−1)(x+1))))  =lim_(x→1^+ ) ((√(x−1))/( (√(x+1))))=(0/( (√2)))=0
$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right.}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{0}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by Rio Michael last updated on 02/Sep/20
((x−1)/( (√(x^2 −1)))) × ((√(x^2 −1))/( (√(x^2 −1)))) = (((x−1)((√(x^2 −1))))/(x^2 −1)) = ((√(x^2 −1))/(x+1))  x → 1^+  ⇒ ((√(x^2 −1))/(x + 1)) → 0
$$\frac{{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:×\:\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:=\:\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=\:\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${x}\:\rightarrow\:\mathrm{1}^{+} \:\Rightarrow\:\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{{x}\:+\:\mathrm{1}}\:\rightarrow\:\mathrm{0}\: \\ $$

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