Question Number 119216 by benjo_mathlover last updated on 23/Oct/20
$$\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{2}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}\:+\mathrm{1}}\:?\: \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 23/Oct/20
$$\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:“\mathrm{hospitalize}''\:\mathrm{it}\:\mathrm{2}\:\mathrm{times},\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{27} \\ $$
Commented by benjo_mathlover last updated on 23/Oct/20
$${yes}… \\ $$
Commented by bemath last updated on 23/Oct/20
$${without}\:{L}'{Hopital} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}\right)}{\left(\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{2}\right)}{\left(\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\:\mathrm{3}\:×\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\left[\frac{{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}−\mathrm{1}}\:\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\:\mathrm{3}\:×\:\left[\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}−\mathrm{1}\right)\left(\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}\:+\mathrm{1}\right.}{\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}−\mathrm{1}}\:\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\:\mathrm{3}\:×\:\left(\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{27} \\ $$
Commented by malwan last updated on 23/Oct/20
$${cooool} \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 23/Oct/20
$$\:{let}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}\:=\:{t} \\ $$$$\underset{{t}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{t}^{\mathrm{9}} −\mathrm{3}{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}}\:=\:\underset{{t}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{9}{t}^{\mathrm{8}} −\mathrm{9}{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{t}−\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{t}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{72}{t}^{\mathrm{7}} −\mathrm{18}{t}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{36}−\mathrm{9}=\mathrm{27} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 23/Oct/20
$$\mathrm{Put}\:\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{x}}=\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}\sim\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\:\:\mathrm{lim}\:\:}\frac{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{2}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}\:+\mathrm{1}}\:=\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{9}} −\mathrm{3u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2u}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{u}^{\mathrm{7}} +\mathrm{2u}^{\mathrm{6}} +\mathrm{3u}^{\mathrm{5}} +\mathrm{4u}^{\mathrm{4}} +\mathrm{5u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4u}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{7}} +\mathrm{2u}^{\mathrm{6}} +\mathrm{3u}^{\mathrm{5}} +\mathrm{4u}^{\mathrm{4}} +\mathrm{5u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4u}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+\mathrm{4}+\mathrm{2}=\mathrm{27} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 23/Oct/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\left({x}+\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\left({x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\left({x}+\mathrm{2}\right)\left({x}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} +{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}.\mathrm{9}=\mathrm{27} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 24/Oct/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}}{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{1}}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}\:=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}−\mathrm{2x}+\mathrm{2}\:=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{1}\:=\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)}{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}=\mathrm{t}\:\Rightarrow^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{x}}=\mathrm{t}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \right)= \\ $$$$=\frac{\left(\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\left(\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} +\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}\right)\left(\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} +\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}+\mathrm{3}\right)\left(\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} +\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\right)}{\mathrm{t}}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} +\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{6}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3t}\:−\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{1}+\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}\:+\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{3}} \mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{4}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{5}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{5}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{6}} +\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3t}−\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{9t}\:+\left(\mathrm{3}+\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{1}+\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{3}} \right)\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{4}} \mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{5}} \mathrm{t}^{\mathrm{5}} +\mathrm{t}^{\mathrm{6}\:} \Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \right)\:=\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{9}\:+\left(\mathrm{3}+\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{t}\:+\left(\mathrm{1}+\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{3}} \right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +…+\mathrm{t}^{\mathrm{5}} \right)\rightarrow\mathrm{3}×\mathrm{9}=\mathrm{27} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{27} \\ $$