Question Number 185508 by mathlove last updated on 23/Jan/23
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{5}^{{x}} −\mathrm{25}}{{x}−\mathrm{2}}=? \\ $$$${with}\:{out}\:{H}'{L}\:{roule} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 23/Jan/23
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{5}^{{x}} −\mathrm{25}}{{x}−\mathrm{2}}=\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{5}^{{t}+\mathrm{2}} −\mathrm{25}}{{t}}=\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{25}\left(\mathrm{5}^{{t}} −\mathrm{1}\right)}{{t}} \\ $$$$=\mathrm{25}\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{e}^{{t}\mathrm{ln5}} −\mathrm{1}}{{t}}=\mathrm{25}\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{1}+{t}\mathrm{ln5}\right)−\mathrm{1}}{{t}} \\ $$$$=\mathrm{25}\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{t}\mathrm{ln5}}{{t}}=\mathrm{25}\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{ln5}\right)=\mathrm{25ln}\left(\mathrm{5}\right) \\ $$