Question Number 84902 by john santu last updated on 17/Mar/20
$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{5}^{\mathrm{x}} +\mathrm{5}^{\mathrm{2x}} \right)\:^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:? \\ $$
Commented by john santu last updated on 17/Mar/20
$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{x}} +\mathrm{5}^{\mathrm{2x}} }{\mathrm{5}^{\mathrm{2x}} }×\mathrm{5}^{\mathrm{2x}} \right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:=\: \\ $$$$\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \:×\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{x}} }\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} =\: \\ $$$$\mathrm{25}\:×\:\mathrm{e}^{\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{x}} }−\mathrm{1}\right).\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:= \\ $$$$\mathrm{25}\:×\:\mathrm{e}^{\mathrm{0}} \:=\:\mathrm{25}\:×\mathrm{1}\:=\:\mathrm{25} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 17/Mar/20
$${let}\:{f}\left({x}\right)=\left(\mathrm{5}^{{x}} \:+\mathrm{5}^{\mathrm{2}{x}} \right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} \:\Rightarrow{f}\left({x}\right)={e}^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}{ln}\left(\mathrm{5}^{\mathrm{2}{x}} \:+\mathrm{5}^{{x}} \right)} \\ $$$$={e}^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left(\mathrm{2}{x}\right){ln}\left(\mathrm{5}\right)\:+{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{5}^{−{x}} \right)} \:=\mathrm{25}\:{e}^{{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{5}^{−{x}} \right)} \:\Rightarrow{f}\left({x}\right)\sim\mathrm{25}\:{e}^{\mathrm{5}^{−{x}} } \rightarrow\mathrm{25}\:\left({x}\rightarrow+\infty\right) \\ $$$$\Rightarrow{lim}_{{x}\rightarrow+\infty} \:\:{f}\left({x}\right)=\mathrm{25} \\ $$