Question Number 114239 by bemath last updated on 18/Sep/20
$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{4}}{{x}}\right)}−\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{2}}{{x}}\right)−\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{4}}{{x}}\right)}\:? \\ $$
Commented by bemath last updated on 18/Sep/20
$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{8}}{{x}^{\mathrm{2}} }}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{8}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)}\:= \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} }\right)−\mathrm{1}}{\left(\frac{\mathrm{6}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)}\:=\:−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}.\mathrm{6}}\:=\:−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 18/Sep/20
$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{4}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}}{\mathrm{2}{sin}\frac{\mathrm{3}}{{x}}{sin}\frac{\mathrm{2}}{{x}}}=\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}}{\mathrm{2}.\frac{\mathrm{6}}{{x}^{\mathrm{2}} }}=−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}\: \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Sep/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\left(\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}}\right)\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)−\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}}\right)}\:\:\mathrm{here}\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)\:=\frac{\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{4t}\right)\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)−\mathrm{cos}\left(\mathrm{4t}\right)}\:\:\left(\mathrm{x}\rightarrow\infty\:\Rightarrow\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{4t}\right)\:\sim\mathrm{1}−\mathrm{8t}^{\mathrm{2}} \:\:,\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)\sim\mathrm{1}−\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} \:\:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)\sim\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{8t}^{\mathrm{2}} \right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{8t}^{\mathrm{2}} }\:\sim\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{6t}^{\mathrm{2}} }\:=−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{18}}\:=−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}} \\ $$