Question Number 165372 by LEKOUMA last updated on 31/Jan/22
$$\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}ln}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}^{{x}} \right)\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{3}}{{x}}\right) \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 31/Jan/22
$$\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}^{{x}} \right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{3}}{{x}}\right) \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{3}}{{x}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}^{{x}} \right) \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{3}}{{x}}\left(\mathrm{ln2}^{{x}} +\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}^{−{x}} \right)\right) \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{3}}{{x}}\mathrm{ln2}^{{x}} +\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{3}}{{x}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}^{−{x}} \right) \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}3ln2}+\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{3}}{{x}}×\mathrm{2}^{−{x}} =\mathrm{3ln2} \\ $$