Question Number 157216 by Khalmohmmad last updated on 21/Oct/21
$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} =? \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{4}{x}}}{\mathrm{tan}\sqrt{\mathrm{4}{x}}}=? \\ $$
Commented by cortano last updated on 21/Oct/21
$$\:\left(\mathrm{2}\right)\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{4}{x}}}{\mathrm{tan}\:\sqrt{\mathrm{4}{x}}}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{4}{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{4}{x}}}}{\frac{\mathrm{tan}\:\sqrt{\mathrm{4}{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{4}{x}}}} \\ $$$$\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{4}{x}}{\mathrm{4}{x}}}}{\frac{\mathrm{tan}\:\sqrt{\mathrm{4}{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{4}{x}}}}\:=\mathrm{1} \\ $$
Answered by puissant last updated on 21/Oct/21
![1) L=lim_(n→∞) (((n!)/n^n ))^(1/n) ; ln(L)=lim_(n→∞) (1/n)ln(((n!)/n^n )) = lim_(n→∞) (1/n){ln(n!)−nln(n)} = lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1) ^n {ln(k)−ln(n)} =lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1) ^n ln((k/n)) = ∫_0 ^1 ln(x)dx IBP → { ((u=lnx)),((v′=1)) :} ⇒ { ((u′=(1/x))),((v=x)) :} ⇒ ln(L)=[xlnx]_0 ^1 −∫_0 ^1 1dx ⇒ ln(L)=−1 → L=e^(−1) =(1/e).. ∴∵ L=lim_(n→∞) (((n!)/n^n ))^(1/n) = (1/e).. ...........Le puissant............](https://www.tinkutara.com/question/Q157236.png)
$$\left.\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathscr{L}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} ;\:{ln}\left(\mathscr{L}\right)=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}{ln}\left(\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }\right) \\ $$$$=\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\left\{{ln}\left({n}!\right)−{nln}\left({n}\right)\right\} \\ $$$$=\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left\{{ln}\left({k}\right)−{ln}\left({n}\right)\right\} \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{ln}\left(\frac{{k}}{{n}}\right)\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left({x}\right){dx} \\ $$$${IBP}\:\rightarrow\:\begin{cases}{{u}={lnx}}\\{{v}'=\mathrm{1}}\end{cases}\:\Rightarrow\:\begin{cases}{{u}'=\frac{\mathrm{1}}{{x}}}\\{{v}={x}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\:{ln}\left(\mathscr{L}\right)=\left[{xlnx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{1}{dx} \\ $$$$\Rightarrow\:{ln}\left(\mathscr{L}\right)=−\mathrm{1}\:\rightarrow\:\mathscr{L}={e}^{−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{{e}}.. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\therefore\because\:\mathscr{L}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} =\:\frac{\mathrm{1}}{{e}}.. \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:………..\mathscr{L}{e}\:{puissant}………… \\ $$