Question Number 105157 by bramlex last updated on 26/Jul/20
$$\underset{{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{6}}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:{x}−\mathrm{2}}\:? \\ $$
Answered by bramlex last updated on 26/Jul/20
$$\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\pi/\mathrm{6}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:{x}−\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\pi/\mathrm{6}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\mathrm{3sin}\:\mathrm{3}{x}\right)−\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{cos}\:{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$=\frac{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:=\:\infty\:\left({DNE}\:\right) \\ $$