Question Number 131052 by benjo_mathlover last updated on 01/Feb/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow{s}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{x}^{{s}^{{s}} } −{s}^{{x}^{{s}} } }{{x}^{\mathrm{2}} −{s}^{\mathrm{2}} }\:=? \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 01/Feb/21
$$\mathscr{L}=\frac{\mathrm{s}^{\mathrm{s}^{\mathrm{s}} } −\mathrm{s}^{\mathrm{s}^{\mathrm{s}} } }{\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{s}^{\mathrm{2}} }=\frac{\left(\mathrm{s}−\mathrm{s}\right)\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{s}^{\mathrm{s}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{s}^{\mathrm{s}^{\mathrm{s}} −\mathrm{k}−\mathrm{1}} \centerdot\mathrm{s}^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{s}−\mathrm{s}\right)\left(\mathrm{s}+\mathrm{s}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2s}}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{s}^{\mathrm{s}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{s}^{\mathrm{s}^{\mathrm{s}} −\mathrm{1}} =\frac{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{s}^{\mathrm{s}} −\mathrm{1}} \right)\mathrm{s}^{\mathrm{s}} }{\mathrm{2s}} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 01/Feb/21
$$\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}−\mathrm{1}} \mathrm{b}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{s}=\mathrm{b},\:\mathrm{n}=\mathrm{s}^{\mathrm{s}} \\ $$