Question Number 124802 by john_santu last updated on 06/Dec/20
$$\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt[{\mathrm{4}}]{{x}+\mathrm{1}}\:−\:\sqrt[{\mathrm{4}}]{{x}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}+\mathrm{1}}\:−\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}}}\:=?\: \\ $$
Answered by bramlexs22 last updated on 06/Dec/20
$$\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt[{\mathrm{4}}]{{x}}\:\left(\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}−\mathrm{1}\right)}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}}\:\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}−\mathrm{1}\right)}\:= \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{12}}]{{x}}}\:\left(\frac{\sqrt[{\mathrm{4}\:}]{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}\:−\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}−\mathrm{1}}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\: \\ $$
Answered by Bird last updated on 06/Dec/20
$${f}\left({x}\right)=\frac{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} −{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} }{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} }\:\Rightarrow \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} \left\{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} −\mathrm{1}\right\}}{{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \left\{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1}\right\}} \\ $$$$\sim\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} }×\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{x}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{x}}}\:\:\left({x}\rightarrow+\infty\right) \\ $$$${f}\left({x}\right)\sim\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}} }\rightarrow\mathrm{0}\:\left({x}\rightarrow+\infty\right) \\ $$$$\Rightarrow{lim}_{{x}\rightarrow+\infty} {f}\left({x}\right)=\mathrm{0} \\ $$