Question Number 186500 by 073 last updated on 05/Feb/23
$$\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}}}}}−\sqrt{\mathrm{x}}=? \\ $$$$\mathrm{please}\:\mathrm{solution} \\ $$
Answered by greougoury555 last updated on 05/Feb/23
$$\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}}{\:\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}}\:+\sqrt{{x}}} \\ $$$$\:=\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{{x}}\:\left(\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:\right)}{\:\sqrt{{x}}\:\left(\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }}}}}\:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$