Question Number 153154 by liberty last updated on 05/Sep/21
$$\:\:\underset{{x}\rightarrow{y}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\left({e}^{{x}} \right)−\mathrm{sin}\:\left({e}^{{y}} \right)}{{x}−{y}}=? \\ $$
Answered by bramlexs22 last updated on 05/Sep/21
$$\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{y}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)−\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{y}} \right)}{\mathrm{x}−\mathrm{y}}\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{y}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2cos}\:\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{y}} }{\mathrm{2}}\right)\mathrm{sin}\:\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{y}} }{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{y}} \\ $$$$=\mathrm{2cos}\:\left(\frac{\mathrm{2e}^{\mathrm{y}} }{\mathrm{2}}\right).\underset{{x}\rightarrow\mathrm{y}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{y}} }{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{y}} \\ $$$$=\mathrm{2cos}\:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{y}} \right).\underset{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{t}+\mathrm{y}} −\mathrm{e}^{\mathrm{y}} }{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{t}} \\ $$$$=\mathrm{2cos}\:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{y}} \right).\underset{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{y}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{1}\right)\right)}{\mathrm{t}} \\ $$$$=\mathrm{2cos}\:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{y}} \right).\underset{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{y}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2t}}=\mathrm{2cos}\:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{y}} \right)\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{y}} }{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\mathrm{e}^{\mathrm{y}} \:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{y}} \right)\: \\ $$