ln-1-x-1-x-dx-

Question Number 92394 by john santu last updated on 06/May/20

$$\int\:\mathrm{ln}\:\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\:+\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\:\right)\:{dx}\: \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 06/May/20

I =∫ln((√(1−x))+(√(1+x)))dx by parts I =x((√(1−x))+(√(1+x)))−∫ x((((√(1−x))+(√(1+x)))^′ )/( (√(1−x))+(√(1+x))))dx =x((√(1−x))+(√(1+x)))−∫ x×((((−1)/(2(√(1−x))))+(1/(2(√(1+x)))))/( (√(1−x))+(√(1+x))))dx =x((√(1−x))+(√(1+x)))+(1/2)∫ x×(((√(1+x))−(√(1−x)))/( (√(1−x^2 ))((√(1−x))+(√(1+x)))))dx =x((√(1−x))+(√(1+x))) +(1/2)∫ x×((((√(1+x))−(√(1−x)))^2 )/( (√(1−x^2 ))(2x)))dx =x((√(1−x))+(√(1+x)))+(1/4)∫ ((1+x−2(√(1−x^2 ))+1−x)/( (√(1−x^2 ))))dx =x((√(1−x))+(√(1+x))) +(1/4)∫((2−2(√(1−x^2 )))/( (√(1−x^2 ))))dx I=x((√(1−x))+(√(1+x))) +(1/2) arcsinx−(x/2) +c

$${I}\:=\int{ln}\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\right){dx}\:\:{by}\:{parts}\: \\ $$$${I}\:={x}\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\right)−\int\:{x}\frac{\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\right)^{'} }{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}{dx} \\ $$$$={x}\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\right)−\int\:{x}×\frac{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−{x}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}{dx} \\ $$$$={x}\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:{x}×\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}}−\sqrt{\mathrm{1}−{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\right)}{dx} \\ $$$$={x}\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:{x}×\frac{\left(\sqrt{\mathrm{1}+{x}}−\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\right)^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{2}{x}\right)}{dx} \\ $$$$={x}\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\:\:\frac{\mathrm{1}+{x}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}−{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{dx} \\ $$$$={x}\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{dx} \\ $$$${I}={x}\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{arcsinx}−\frac{{x}}{\mathrm{2}}\:+{c} \\ $$

Commented by john santu last updated on 06/May/20

D.I method = x ln((√(1−x)) + (√(1+x))) − (x/2)+(1/2)sin^(−1) (x) + c

$$\mathrm{D}.\mathrm{I}\:\mathrm{method}\: \\ $$$$=\:{x}\:\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\:+\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\right)\:− \\ $$$$\frac{{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:+\:{c}\: \\ $$

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