Question Number 128079 by liberty last updated on 04/Jan/21
$$\Omega\:=\:\int\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:\right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by bemath last updated on 04/Jan/21
$$\Omega=\mathrm{x}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:\right)−\int\:\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\:\right)}{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\Omega=\mathrm{x}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\int\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:\right)\left(\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\:\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\Omega=\mathrm{x}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\int\:\frac{\mathrm{x}\left(−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\Omega=\:\mathrm{x}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\Omega=\:\mathrm{x}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:\right)−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:+\:\mathrm{C} \\ $$$$ \\ $$