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log-0-5-2-8-2x-x-2-7log-2-8-2x-x-2-lt-12-




Question Number 85347 by jagoll last updated on 21/Mar/20
log_(0.5) ^2 (8+2x−x^2 )−7log_2 (8+2x−x^2 )<−12
$$\mathrm{log}_{\mathrm{0}.\mathrm{5}} ^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{7log}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)<−\mathrm{12} \\ $$
Commented by john santu last updated on 21/Mar/20
(i) 8+2x−x^2  > 0  x^2 −2x−8 < 0  (x−4)(x+2) < 0  −2 < x < 4   (ii) log_(0.5) ^2 (8+2x−x^2 ) = log_2 ^2  (8+2x−x^2 )  let log_2  (8+2x−x^2 ) = t  ⇒ t^2 −7t+12 < 0   3 < t < 4  ⇒ 8 < 8+2x−x^2  < 16  −16 < x^2 −2x−8 <−8  −7 < x^2 −2x+1 < 1  −7 < (x−1)^2  < 1 ⇒ (x−1)^2 −1 < 0  0 < x < 2 ⇒ ∴ 0 < x < 2 ← solution
$$\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{8}\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{2}\:<\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{4}\: \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{log}_{\mathrm{0}.\mathrm{5}} ^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{log}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{t} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7t}+\mathrm{12}\:<\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\mathrm{3}\:<\:\mathrm{t}\:<\:\mathrm{4}\:\:\Rightarrow\:\mathrm{8}\:<\:\mathrm{8}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:<\:\mathrm{16} \\ $$$$−\mathrm{16}\:<\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{8}\:<−\mathrm{8} \\ $$$$−\mathrm{7}\:<\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}\:<\:\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{7}\:<\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:<\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{0}\:<\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\therefore\:\mathrm{0}\:<\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{2}\:\leftarrow\:\mathrm{solution} \\ $$

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