Question Number 81364 by jagoll last updated on 12/Feb/20
$$\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:\left(\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)−\mathrm{1}\right)\:<\:\mathrm{1}\: \\ $$$$\mathrm{has}\:\mathrm{solution}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{26}} }<\mathrm{x}<\mathrm{b}.\:\mathrm{find}\:\mathrm{a}\:? \\ $$
Commented by john santu last updated on 12/Feb/20
$$\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:\left(\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)−\mathrm{1}>\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:\left(\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)−\mathrm{1}\:<\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{0}\:<\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:\left(\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)−\mathrm{1}\:<\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{1}\:<\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:\left(\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)\:<\:\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{3}\:<\:\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)\:<\:\mathrm{27}\: \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}^{\mathrm{3}} \:<\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\:<\:\mathrm{2}^{\mathrm{27}} \: \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{27}} }\:<\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:<\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }\: \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{26}} }\:<\:\mathrm{x}\:<\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\:.\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}\:=\:\mathrm{2}\: \\ $$
Commented by jagoll last updated on 12/Feb/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{mister} \\ $$